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路易继撞车记之后再次成为医院的常客。事情的起因是这样的，路易十多年前有一次车祸鼻梁骨受损，留下个鼻腔通气不良的后遗症需要小手术修理一下，但是因为平时生活也没受到什么影响所以这件事就一直拖了下来。这次路易左脚手术后在家赋闲相当无聊，琢磨着是不是把鼻梁手术给做了。结果不检查还好，一检查发现路易很可能有严重的睡眠紊乱症。总之事态很严重，在鼻梁手术之前，医生建议路易去斯坦福睡眠研究中心进行睡眠质量测试。这个测试据说做一次要 4000 刀，好在有医疗保险，于是路易怀着无比好奇的心情过去玩了。

睡眠是一个很神奇的东西，虽然真正的睡眠研究只有大概半个世纪，很多方面还是百家争鸣的阶段，但是一些基本的问题已经很有共识，并写进了教科书。睡眠状态分为两大类，REM 和 NREM。REM（Rapid Eye Movement）中人的眼球会快速运动；与之相对的是 NREM，眼球不动，按照脑电波特性 NREM 分为四个阶段，其中第三和第四阶段是深睡眠。人的睡眠就是在 NREM 四个阶段和 REM 之间反复循环，一个循环大概将近两个小时。REM 过程中脑电波的活动和醒着的时候很接近，清晰的梦境一般也发生在此，不过除非人马上醒来，否则很难记住梦。科学家们说，人一生总计有大概六年的时间在做梦。现行理论认为睡眠不仅放松机体、平衡代谢，同时也会整理记忆等。进化选择了这么复杂的睡眠模式，必然有它的道理。

路易在睡眠研究中心被贴上了几十个传感器收集脑电波、肌肉运动、呼吸、血氧等信息。护士 mm 问道，你这条腿咋了？路易搞笑道，开车睡着撞啦，哈哈。（不过后来路易偷偷告诉我，其实他鼻梁骨这个车祸就是因为他开车睡着了，太恐怖了，没撞死真是命大啊。）睡之前路易需要做各类眼珠和呼吸运动以校准仪器，之后路易就挂了这么多传感器睡了一晚上，起来撒尿还得挂着。（实际情况是，路易脖子上挂了一个接线盒，所有传感器都先接到接线盒，起床撒尿只要护士进来把接线盒到电脑的总数据线拔掉就可以了。）

早上起来护士例行公事的问路易做什么梦了，因为需要结合脑电波分析，所以必须老实回答。路易憋了很久，红着脸对护士说，“我梦见和你 XX 了”……晕。护士见多不怪，问他还记得别的么？路易说没了，实际上仪器显示路易做了二十多次梦。护士接着问他大概醒了几次。路易说大概也就五六次吧。但是从仪器的数据来看，路易每个小时就要醒 20 多次！只不过醒来立刻就会睡着，所以一般都不记得了。为什么会醒来呢，因为路易呼吸道不通畅，伴随打鼾，所以大脑就会抗议并醒过来。同时，因为氧气不足，睡眠时路易的呼吸频率提升到每分钟 30 次，而正常人是每分钟 12 到 15 次，早上醒来路易常常感觉浑身无力，看来正是因为高频率的呼吸消耗了大量能量……另外路易从小记忆力不佳，这也很可能是因为他缺乏深睡眠和 REM。

好了病因差不多找到了，怎么治疗呢？有两种主要的治疗方法，一种是戴加压空气面罩睡觉，加压后往往能完全恢复正常的呼吸。另外也可以通过手术治疗，把下巴和舌头往前挪以打开喉部空间，这个手术需要动面部丰富的血管和神经，同时需要把舌头完全切下来再按回去，恐怖之极，据说是这个研究中心首创的。这么巨大的手术只能做到加压面罩疗法 60% 的效果，为什么还有人做呢？因为有人在心理或者生理上完全不能接受加压面罩。据研究中心统计，美国有 25% 的人患有因呼吸不畅引起的睡眠紊乱，这些人都需要治疗，但是却又常常得不到正确的治疗，事实上很可能他们都需要加压面罩。这个说法真是耸人听闻，难道我明天也应该去做一下睡眠测试？

研究中心第二天就给路易安排了戴加压面罩的睡眠测试。路易长期睡眠不良，大脑已经适应，可以让他在五分钟之内就直接进入深睡眠阶段。在加压面罩下，路易的呼吸降到每分钟 13 次的正常水平，完全在深睡眠状态连续睡了三个小时，凌晨两点钟醒来感觉睡眠已经足够，完全可以开始新一天的工作了。不过护士还没看到 REM，强迫路易吃了安眠药继续测试。早上路易醒来感觉神清气爽脱胎换骨，浑身有无穷的活力。当然了，医生提醒他这只是他长期睡眠紊乱突然睡眠质量提高后的心理假象，实际上路易的各项生理指标也不见得就突然好了很多，每天都戴加压面罩之后大脑还需要慢慢调整睡眠模式以适应新情况。不过不管怎么说，路易戴加压面罩没有感觉不适，新生活就在眼前，前途一片光明啊。

最后，和上面的故事完全没有关系，新学一个名词——临睡肌跃症（你有我也有！），直接摘要一下吧：

有一种比较特别的生理性不自主动作，称为「临睡肌跃症」（hypnic jerk），这种肌跃现象出现在刚要入睡时，通常它会伴随跌倒或踏空的感觉（亦可能伴随其它的幻觉），而导致突然的惊醒与肢体及躯干肌肉的单次跳跃。这种现象通常出现在比较劳累及精神压力大的时候，约有 7 成的正常人均有过这种经验。

如果全世界所有活人都跳进海里，海平面能上升多少？（在往下看之前你可以先猜一下答案）这类问题，物理学里面一般叫费米问题，指的是将一个看似无从下手的问题拆分成若干个子问题，通过估算每一个子问题来确定原始问题的数量级。这里面有两个关键字，一个是拆分，一个是估算，这两者缺一不可。

上面海平面这个问题分析一下并不难算，计算方法是：地球人口 乘以 平均人体体积 除以 海洋面积。地球人口 60 多亿是常识。接下来人体平均体积呢，差不多可以用眼睛估算一下，高 1.7 米，宽 40 厘米，厚 20 厘米，这样差不多是 0.1 立方米；另一种算法是 体重 除以 密度，体重算 75 千克，人体密度很接近水 每立方米一吨，所以人体体积差不多 0.1 立方米（注意只要数量级正确即可，不需要很精确）。最难估计的恐怕是海洋面积，首先，海洋面积差不多是地球表面积的 70%（这个应该是常识吧？不过不知道准确数字并不影响结果的数量级），如果你还记得地球半径是 6400 公里，用球面积公式 4 π R² 就可以算出地球表面积了。这个问题的答案是海平面只会上升大概 1 微米（0.001 毫米）。

上面这个问题里面，地球半径不能算是一个常识，一般人不知道。我们把它当作新的一个费米问题，提供三种方法来估算：

• 大家可能听说过光的速度是每秒钟三十万公里，同时可能记得光可以每秒钟绕地球赤道跑 7.5 圈。用这两个数字就可以估算出地球半径。7.5 这个数字可能不记得，只要是记得是一个个位数，算它是 5 圈也可以得到合理的估计。
• 从旧金山到上海飞机要飞 10 个小时左右，飞机速度比音速稍慢，算它每秒 300 米。然后旧金山是西八区，上海是东八区，所以差不多跨 1/3 地球。当然算真正的飞行距离还需要考虑纬度和球面大圆，但是费米问题不需要考虑这些细节，直接估算旧金山到上海距离是地球赤道周长的 1/3 即可。这个方法算出来地球半径差不多 5000 公里，足够接近了。
• 从小我们都学中国国土面积是 960 万平方公里（现在教的好像比这大？），然后大概默想一下世界地图，估计中国占世界陆地的 1/10，然后再用陆地面积占地球表面积的 30% 继而可以估计地球表面积和半径。这样估计出来是 5000 公里，也很接近。

如果你坚持看到了这里，你一定会抗议，地球半径这种土鳖问题，网上搜一下不就有了，犯得着用上面这些烂办法么？其实我想表达的中心意思是，估计数量级完全不用拘泥于细节，很多时候用一小点线索就可以估计看似不可能估计的东西，同时也可以打开人的想象力，不失为等公车无聊时做思维体操的好材料。我拿那个海平面上升的问题问过不少人，大多数人的直觉猜测是 1 毫米到 1 厘米左右，而粗略的数量级估计就可以得到 1 微米的结果，这远比纯粹的直觉可靠得多。

尽管如此，很多费米问题还是吃饱了撑的，去看物理系费米问题的考卷，都是这种毫无意义的问题，比方，几个氢气球能把人吊起来，全世界有多少粒沙子，集装箱能装多少钱（塞满 100 美元纸币）。不过既然有物理系专门开费米问题的课，可见其意义远不止消磨时间这么低级。可惜这篇已经写太长了，等我下次有空再写。

========== 孤独的分割线 ==========

最后再提一个费米问题：中国大陆的性服务业一年营业额大概有多少？有人给我提供了一种解答：100 万妓女，一炮 100，乘以 365 天，差不多 500 亿。当然也有别的一些估计方法，但是估算也需要有一点常识，有位清纯小男生估计适龄男同志只有万分之一嫖娼，被我打回去了。我和几个网友估计出来差不多是 100 到 1000 亿的样子。但是有位香港熟女估计出来有一万亿，网上有专家估计号称是 5000 亿左右（他是不是把二奶消费算上了？）。5000 亿是个什么概念呢？5000 亿是中国 GDP 的 2%，如果真是这样，这个服务业规范化再收一下税可不得了了。

Fang 在《写作的重要性》一文中提到：看完书不写读后就好像做完题目不写成 paper，不是好习惯。在这个方针的指引下，我在过去几年看的音乐方面的书该摘录的前面三篇差不多写完了，这里补点小问题作个尾巴吧。

音高感知：比较流行的理论是，几百赫兹以下大脑是直接数周期来确定音高的，1600 Hz 以上则主要靠内耳频谱分析，中间频率段两种机制都在起作用。

声源定位：人有俩耳朵，定位声源主要靠分辨声音到达耳朵的时间差。比较令人惊讶的是，虽然声音感知的神经脉冲有 100 微秒，但是人可以分辨的时间差在 10 微秒的量级。另外，左右耳的声强和频谱对比也对判断声源有帮助，比如，右边来的声音在右耳听起来会亮一些，因为声波经过圆型头部的时候高频被吸收得多。

还有一个有趣的现象是声源的上下定位。人即使不移动脑袋，也是可以感觉到正前方声源的上下位置的，而这种声源对左右耳完全对称，因此也不可能用左右耳差异来判断位置。实验发现，如果堵上耳朵或者改变耳廓形状，人的声源上下定位能力就会减弱或者消失。流行理论是人对预定声音的频谱会有记忆，而声源上下移动会在耳廓上产生不同的反射模式，特别会影响高频部分的频谱，人估计就是从高频频谱里得到声源位置的暗示的。实验也发现，如果编造不熟悉的声音，人对声源高度的判断就不会那么准确了。

另外，一般在房间里声源到接受者耳朵里不光有直接声波还有大量墙壁和地面的反射波。首先，人会选取最先听到的直接声波判断出声源的位置；其次，人也会利用反射波的信息来感知房间大小。实验发现，如果把房间墙壁搞成完全吸收声波，哪怕再小的房间人也不会感觉到房间很小（当然这个实验需要把人眼睛蒙起来）。

鸡尾酒会效应：Cocktail party effect，听觉系统的一种选择能力。在鸡尾酒会上即使周围噪声很大，我们还是可以听到朋友说的内容。听音乐时，人如果专注于一样乐器，也可以跟随那个乐器的声音。这种能把注意力集中在某个声音上的现象就是鸡尾酒会效应，这和视觉里人可以在纷乱的背景中看出熟悉的图形可能是类似的机制。大凡自然界的声音、人声和乐器都会略有噪音和瑕疵，实验发现人对声音里面这种瑕疵非常敏感，这也很可能是人分辨相近声音的主要线索。两个人说话或者两种乐器演奏，频谱一般有很明显的不同，所以人能分辨出来并不奇怪；两把几乎相同的小提琴一起演奏，人还是可以听出有两把小提琴，这是因为两个乐器各有各的瑕疵，演奏的人也可能技巧略有不同。电子合成的乐音如果不加瑕疵，听起来很机械，完全没有美感，两个不加瑕疵的电子小提琴一起演奏，人是分辨不出来的。可见完美的世界并不美好，我们需要一定的个性才能让这个世界变得有趣。

最后推荐一本书 Music, Cognition, and Computerized Sound:  An Introduction to Psychoacoustics，这本书是 Stanford Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA) 的一帮人根据教学经历整理的。这个多学科研究中心集结了音乐、计算机、电子和机械工程、物理和心理方面的大牛，成立多年虽无重大突破，但是成功改变了过去各个学科独自研究音乐的局面，算是在这个交叉学科领域走出了重要的一步。

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（以上是我 10 年前拍的胶卷照片扫描的，别的网站的照片：1 2 3）夕阳的倒影为什么这么长？这么常见的现象显然是有人研究过的。这种倒影叫 glitter，主要是水面的小波纹形成的（如果是完全平静的水面，倒影自然只有镜面反射的太阳，不会拉长）。简单的模型如下图所示，我们用 α 表示太阳高度角，β 表示水面波波的最大倾角。

对于一个小局域因为有很多不同角度的水面，所以水面反射的阳光被撒在一个 4β 的视角内；反过来，对于固定不动的人（右上图），他也可以在 4β 视角内接收到水面反射的阳光，因为小波浪足够随机，每一个局域都经常会正好有小水波面反射阳光到人眼睛里，所以人就会在 4β 视角内看到波光粼粼的水面。4β 视角是个什么概念呢？一般有微风的水面，β 大概是 5 度左右，所以 glitter 会铺开 20 度的视角，而天上太阳本身的视角只有 0.5 度，相比起来，glitter 要长很多。如果太阳高度足够低（α < 2β），glitter 将会延展到远方地平线。

上面只说了 glitter 的纵向长度，理想模型下 glitter 大概是一个椭圆，其长宽比是 1 : sin α，夕阳西下时 α 很小，所以 glitter 也会显得很长。实际的波浪分布并不会很均匀，glitter 也不会有很明确的边缘。下面这张图片是我在太平洋边拍的，大概还能看出椭圆的形状，长宽比大概是 2 : 1，所以 α 应该在 30 度左右；而根据当地经纬度和拍摄时间算出当时太阳高度是 35 度，非常接近。另外，还可以看出这张照片里近处 β 大概是 10 度左右。

事实上，最早研究 glitter 的几篇论文也正是想从 glitter 来估计水面波涛的汹涌程度，实际模型需要考虑偏振、浪花统计分布、反射率以及照相机镜头补偿等各种复杂的因素。另外，湿路面上汽车前灯的倒影也会被拉得很长，道理是差不多的。材料学里也有人用类似的原理来估计材质表面的粗糙程度。

资料：

• 两本书：
  • Color and Light in Nature, 2001.
  • The Nature of Light and Colour in the Open Air, 1954.
• 早期论文：1934 年的，1954 年的。
• Anisotropic Reflections，一个计算机图形方面的网站。
• 太阳高度计算器

为什么小整数频率比的两个音比较和谐？这个问题，要从乐音的谐波说起。

一般乐器发出的音都不是纯频率的音，而是由好多谐波（harmonic）组成的；其中频率最低的那个通常最强，叫做基音。比如小提琴发出音高 A4 的音，指的就是其基音是 440 Hz，而声波频谱里面同时有二次谐波 880 Hz、三次谐波 1320 Hz、四次谐波……等等。不同乐器发出的声音，其谐波强度分布往往完全不同，因此音色（timbre）也就不同（比如高谐波强的话听起来就亮一些）。乐音含有谐波这个特性和小整数比的和音规则有什么关系？以完全五度举例，A4 和 E5 的两个乐音，频率比为 2:3，而 A4 的三次谐波和 E5 的二次谐波刚好重合，都是 1320 Hz。相隔完全五度的两个乐音同时听起来比较好听，是不是因为它们大部分的谐波都重合了？

于是就有科学家做实验了。人们发现，把纯频率的音（不含谐波）A4 和 E5 同时发出来听并不怎么好听。还有人用电脑制作了扭曲的乐音，把 N 次谐波搞成 N^{log(2.1)/log(2)} 倍（谐波从 2 倍拉宽到 2.1 倍，自然界是没有这种声音的），然后发现谐波重合的扭曲乐音同时听起来还比较和谐，而它们的基音却不是小整数比了。还有一些别的实验，但是结论都是差不多的，就是两个乐音和谐主要是因为他们的谐波重合，转换为数学语言，就是基音必须是小整数比。

为啥谐波重合就好听呢？这是因为，如果谐波不重合但是距离很近，它们就会干涉形成低频率的拍（beat），这种低频拍音嗡嗡作响，非常难听。两个频率距离多近才会形成不好听的拍？人们一般把这个临界距离叫做临界频宽（critical bandwidth），处于临界频宽之内的两个频率就会互相干涉。这个临界频宽本身是频率的函数，频率越高，临界频宽带也就越宽，如下图所示：

可以看到，临界频宽在低频区是 100 Hz 左右；高频区大约是本身频率的 1/6。比如，900 Hz 的临界频宽是 150 Hz，这就是说，750 - 1050 Hz 频率范围内的音都会和 900 Hz 的音干涉。用音乐术语，1/6 频宽介于大二度和小三度之间（上图所示 2&3 semitones 之间），所以在高频区域里，间隔一个或者两个半音的音就会相互干涉形成不愉悦的拍。

乐音的高谐波排列非常紧密，比如 A4 的 10 次谐波和 11 次谐波分别是 4.4 kHz 4.84 kHz，间隔不到两个半音，所以高谐波之间就会相互干涉。如果对小提琴乐音做频谱分析，会发现它有很多谐波强度很弱，造成的结果是各个强谐波之间间隔都比较大，不在互相的临界频宽内，所以小提琴乐音本身极少有难听的拍，这也正是小提琴乐音很好听的原因之一。有些乐器音高很准，但是发出声音很难听，可能就是因为它自己有很多谐波互相打架，形成很多低频拍，听起来很难受。

那么为什么低频的拍听起来难听呢？有人认为这和人耳的解剖学结构有关。匈牙利生物物理学家 Georg von Békésy 发现人的耳蜗里有很多小毛毛，功能是把外界声波在内耳液体中产生的振动转换为神经电信号，而且耳蜗的特殊生理结构导致每根小毛毛只对一小段频率的振动敏感。也就是说，耳蜗就是一个频谱分析仪；而小毛毛的敏感频率段，差不多就是相应频率的临界频宽。好的乐音因为没有互相打架的拍频，小毛毛们都会做优美的简谐运动，人就会觉得很愉快；相反，如果临界频宽内有两个频率的声音，有一些小毛毛就会受到两种频率的影响，运动起来比较别扭，所以人也觉得不怎么愉快。Békésy 这个发现是得了诺贝尔医学奖的，不过后来进一步的研究发现虽然他的理论基本成立，但是数据并不正确，主要是因为 Békésy 是拿死人耳朵做实验的，因为尸体失水，耳朵的频率响应也非常不同。不过炸药奖发了就发了，也收不回了，Békésy 本人在晚年也否定了自己早期的一些研究。

如果还有人偏要问到底，为什么耳蜗里小毛毛运动别扭，人就觉得难受呢？有些问题呢，它就是没什么道理的。好不好听这本身就是个主观的问题，如果你偏要问为什么，那估计就只好把你的脑袋砸开来研究了……现代脑科学的研究已经越来越科学，越来越定量化，但是像乐音和谐度这类宏观问题上，基本上也只有一些假说，信仰假说的人多了，也就成了学派。有些哲学家对脑科学前景非常悲观，认为人自己的主观意志去研究自己的主观意志，是很难有结果的。这个说法倒是过于杞人忧天了，目前人类对脑子的了解还远远不够，可以研究的东西还多得很，不过也许在遥远的未来，人就真的要面对无法继续研究自己的问题了。

说了这么多，可千万不要以为知道了一个小整数比就可以谱曲了。翻开和声学，你会发现正统的和声规则要复杂得多，甚至用什么乐器来演奏，调起多高，是小型音乐厅还是露天演奏，等等都是需要考虑的因素。几百年前就有很多音乐家搞出各类奇奇怪怪的规则，而现代人类更是从胎教开始就逐渐接受正统的规则，作曲人即使没有受过专业训练也会在潜移默化中将这些规律继续发扬光大。事实上音乐制作已经在人类社会中形成了巨大的正反馈，某些和声规则逐渐被强化。原始部落的人们听到贝多芬的曲子，并不会神魂颠倒。所以说，可能也只有最朴素的小整数比和声规律还有一定的生理基础，现在复杂的和声学则基本上算是美学，没有道理可言。我曾经看到有人对着乐谱做傅立叶分析，研究为什么某些和声听起来好听。挺美好的音乐，偏偏硬要去扣个科学的帽子，我想说，你从小就是听这些和声规则长大的，能不觉得好听么……这个就跟我受了十多年政治教育就再也不会怀疑马克思列宁主义了是一个道理。

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睡眠麻痹（Sleep Paralysis），中国俗称“鬼压床”，是一种特殊的睡眠状态，表现为意识清醒，但是四肢不能动弹，多见于青少年。有统计表明超过一半的人都经历过至少一次的睡眠麻痹。研究认为绝大多数情况下睡眠麻痹在生理上无害，但是在清晰的意识下无法指挥自己的躯干是一件非常非常恐怖的事情，很多经历睡眠麻痹的人都觉得相当可怕。人在那个时候往往会有幻觉，而且因为不能主动控制呼吸所以往往觉得窒息，感觉鬼压在胸上；而事实上周围并没有异物，呼吸也很正常。

在长期的进化过程中，人学会了在睡眠中抑制运动中枢，以防止人对梦境作出反应伤害自己或他人。但是如果大脑基本醒来的时候运动中枢没有及时醒来，就会出现睡眠麻痹的情况。如果常发睡眠麻痹，一般建议是要避免过度劳累和睡眠不足，另有研究表明避免仰睡可能也有帮助。处于睡眠麻痹时，不要惊慌，要相信自己机体一切功能正常，有研究说尝试活动面部肌肉可能会加快运动中枢的苏醒（这个和我的经验相符！）。

几个链接：1 2 3。

黑点是实验数据，红线是拟合。这个数据看起来还蛮好的……

上个星期实验室一个同事发 Shingles 了。Shingles（带状疱疹），差不多就是水痘复发，但是发疱很局域，而且传染性也极低。尽管如此，学校健康中心还是很重视，拉我们全体去验血。我验出来居然是有水痘抗体的，因为我从来没发过水痘，所以基本就只有三种可能：1. ELISA 验错了，假阳性；2. 我接触过少量水痘病毒所以有了水痘抗体；3. 我是超人。左看右看，还是第三种可能性比较有说服力一些。实验室另一位印度同学验出来阴性，被迫交了 85 刀挨了一针水痘疫苗。

于是出现的情况是，虽然什么事儿都没有，但是实验室好几位同事开始消极怠工，补习生物学知识——他们疑惑的问题比方有：几个细胞组成一个蛋白质，DNA 是不是就是一串儿蛋白质，ft……物理学家的生物学基础真是一穷二白啊。不过后来他们好像讨论了天花，胡乱摘要一下。

天花，有史以来唯一一个被人类完全干掉的传染病（人类真伟大），1980 年世界卫生组织宣布天花被消灭。事实上 1972 年左右米国和欧洲就已经停止天花疫苗（就是牛痘）常规接种，而中国好像是 1982 年左右才停止接种的。这样的结果是，米国现在大概有一半人都不防天花，而我却是防天花的（实验室同事对此的评论是，谁说中国不讲人权！）。

天花在世界范围被消灭的时候，最后的病毒样本放在了苏联和米国两个重兵把守的实验室。世界卫生组织 1986 年开始建议摧毁最后的病毒样本，但是摧毁日期一拖再拖。有人曾发现朝鲜军人有新近注射过牛痘，似乎意味着朝鲜有天花武器。以前的牛痘有各类副作用，研究测试新的天花疫苗最好的办法就是用真正的天花病毒来测试。总之基于各类考虑，现在天花病毒的摧毁日期已经被无限期推迟。米国怕别人投天花炸弹，胆小鬼小布什同学自己带头挨了一针天花疫苗，还让米国大兵们都打一针，不过这个计划没有完全展开。

Ref1: Stay of execution. By: MacKenzie, Debora, New Scientist, 02624079, 01/26/2002, Vol. 173, Issue 2327

Ref2: DNA FOR SMALLPOX VIRUS AVAILABLE ON THE INTERNET. FROM MC Net News June 15, 2006