某日 delphij 同学来访，到我楼下给我打电话是这么说的：“我现在 GPS 显示的坐标是北纬 37 度 25 分 33 秒，西经 122 度 9 分 25 秒，我不确定是不是就是这个楼？”我只好立刻在 Google Map 输入经纬度，心里默念这是不是太军事化了……

全球定位系统（GPS），一个耳熟能详的名字，我以前几篇土文曾提到过一些。GPS 卫星网目前有超过 30 颗在工作，在地球上大部分地区大部分时间可以同时看到至少 8 颗卫星，其中 45 度仰角之上至少 4 颗。能看到 4 颗卫星就够定位用了，所以即使在高楼耸立的大城市里，GPS 定位还是十分有效的。现代 GPS 芯片可以同时处理 12 颗 GPS 卫星的信号以提高精度，一般在空旷地带可以达到 10 米以下的水平定位精度。

GPS 的民用卫星信号曾经人为的加入高达 100 米的误差（所谓的 Selective Availability，简称 SA），后来由于种种原因终于在 2000 年 5 月被关掉，将来的卫星也将不再包含 SA 功能，所以相信 SA 已经永远消失了。也正是在 SA 被关闭之后，GPS 的民用价值才大大的被发挥出来了。有人评论美国国防部干过的最有用的两件事情之一就是架构这个 GPS 了。不过假如美国哪天不高兴了把它关掉，那么全世界的 GPS 接收器就都完完了。为此，欧盟、俄罗斯、印度、日本都有卫星定位系统的项目，中国的北斗似乎也开始工作了，不过这些个系统要达到 GPS 的规模都还需要很多年的时间。

GPS 的定位误差来源于很多方面，比较大的有电离层干扰、原子钟和卫星轨道误差等。大部分大的误差项在空间和时间上的变化都是缓慢的，在某个时间段某个大城市里所有的 GPS 接收器都有几乎相同的误差，这就为进一步修正 GPS 误差提供了可能性。

B. DGPS

接上面一段，如果某个大城市里有一个固定不动的 GPS 接收站事先知道自己的精确坐标，那么它接收 GPS 信号之后就可以判断出 GPS 信号的误差；如果它再把这些误差信息广播给这个城市里所有的 GPS 接收器，那么大家就都可以修正自己的坐标得到很精确的定位了。这个就是差分 GPS（Differential GPS，DGPS）的基本思想。

要发挥出 DGPS 的潜能，需要大批地面基站网，这个有不少国家都做了，甚至自己也可以建。如果和基站距离很近，厘米级的定位是可以达到的，Precision Farming 就是农民应用现代 DGPS 技术的一个例子，也有人用 DGPS 来让轮船精确靠岸等等，不过大部分大型 DGPS 系统都要交点钱才能用（解码误差信号），在美国很受欢迎的 WAAS 系统，使用则不需要缴年费。

WAAS 最早开发出来是用来在美国境内精确导航飞机的。WAAS 在地面有几十个基站，各个基站的误差数据汇总后发给两颗同步卫星（间隔 26 度经线，固定在美洲大陆赤道上空），再由这两颗卫星转发给地面的 WAAS-enabled GPS 接收器。这类接收器现在市面上很多，如果在美国用就能（在屏幕上）看到南方大概 45 度仰角的地方两颗固定不动的卫星（编号 48、51），只要接收到其中一颗的信号，那么定位精度就可以到 5 米以下，最好的地方可能能到 1 米左右。

很多带 GPS 的手机现在都开始用 A-GPS（Assisted GPS）技术了，用手机基站的 GPS 信号来辅助定位，不但可以在 GPS 信号很差的情况下定位，同时手机基站也可以作为 DGPS 基站提供差分误差数据以提高定位精度。

C. INS

我们平时坐车都会感受到惯性力，车加速的时候人会往后靠，车拐弯的时候人会往侧面倾斜。想象把人用上下左右前后六个弹簧秤吊在车里，那么就可以把三个方向的惯性力也就是加速度测量出来，加速度累加可以得到速度，速度再累加一次就可以得到位置，这样就可以导航了（准确的说，是把加速度积分两次得到位置，需要预先知道初始速度和初始位置）。这种导航机制叫做 INS，全称 Inertial Navigation System 惯性导航系统，本质上和 GPS 完全不同。

光测量三个方向的加速度是不够的。想象有一架飞机在往北飞，飞机上的加速度仪感受到了一个向东的力，这可能是因为飞机在往西转弯（转动产生的离心力），也可能是因为突然吹来一阵东风但飞机仍在往正北飞行，如果不能区分这两种情况，那么机头朝向就会算偏掉。因此，真正能用的 INS，还需要一个精度很高的定向仪，一般叫做陀螺仪（gyroscope），最简单的做法就是在飞机里放一个高速旋转的陀螺，在比较理想的情况下，陀螺的指向基本不随飞机转动而变化（物理学里这个叫做角动量守恒），这样就可以定向了。

总结起来，加速度仪 + 陀螺仪 + 强大的计算机就可以制作 INS 了。实用的 INS 需要考虑经纬度、地球自转、科里奥利力等，需要做大量的转动坐标系变换，还需要事先知道各地引力的变化。爱因斯坦说，引力和加速度是等效的，所以假如飞机经过一个事先不知道的金矿时引力变大，那么 INS 测到额外的加速度就会误以为飞机开始上升了。INS 还有一个致命的问题是累积误差会越来越大。单是电子设备的噪声，如果不加修正，经过一段时间的两轮累加就会产生巨大的误差。在 GPS 建成之前，人们花了很多功夫在 INS 上面，尽管 INS 早已实用，但是仍旧太复杂，造价太高，大概只有军用、航天和大型客机之类的地方才用得起。当初，如果 INS 和小型计算机没有及时的被发明出来，阿波罗登月那是不可能的（肯尼迪当年就是如此牛逼的预计到了各类技术都快成熟了）。

D. GPS + INS

GPS 和 INS 的关系非常互补，表现在一个的缺点往往是另一个的优点。INS 长期工作出现的累积误差可以被拥有外部参照系的 GPS 及时修正；而正因为 INS 不需要外部参照，在 GPS 失效的情况下（隧道、海底、敌人干扰等），INS 可以暂时接替导航工作直到 GPS 信号恢复；另外 INS 的数据输出很快，即使 GPS 信号良好，INS 也可以辅助提供更精确的定位信息。如果再加上 DGPS，DGPS + INS 的组合基本就是无敌的了，不过飞机起降还有本地雷达无线电导航，据说最帅的自动降落系统因为实在太精确了，不得不人为加入随机误差以免太多飞机在同一个地方触地把跑道砸坏。

十五世纪左右，探险者开始出海远航，给自己的航船定位是一个很重要的问题。用仪器观测天象（太阳，月亮或者星星） 可以精确的测量纬度，可是由于地球自转，测量经度不但需要精确的天象观测，还需要一个精确的钟。在那个没有好钟的年代里面，海上导航是很困难的，导航失误常常导致海难。1707 年 Cloudesley Shovell 因为算错了自己的位置，和另外三艘军舰相撞，发生大海难，死了两千多个人，人们开始重视海上导航的问题。其实这次海难的原因主要是因为有雾看不见天象而算错了纬度，不过经度测量一直是最大的问题。牛顿在 1714 年指出：

for determining the Longitude at Sea, there have been several Projects, true in the Theory, but difficult to execute: One is, by a Watch to keep Time exactly: But, by reason of the Motion of a Ship, the Variation of Heat and Cold, Wet and Dry, and the difference of Gravity in different Latitudes, such a Watch hath not yet been made.

制造钟表的人当然也不是吃素的。伽利略很早就制作出了单摆，并提出了用单摆做钟的可能性。1657 年 Christiaan Huygens 发明了第一个单摆钟，一天只走差 10 秒。我们一般用相对误差来表示钟表的准确度，这个钟的准确度就是 10秒/1天（86400秒）= 10^-4。后来 1726 年 John Harrison 造了一个一个月只差一秒（4 x 10^-7）的钟，不过正如牛顿指出的，船的运动和温湿度变化导致这些基于单摆的钟在船上都是不可能精确的。1714 年，英国政府的 The Board of Longitude 悬赏两万英镑奖励精度 30 海里的导航方案（Longitude Act）。这需要一个在船上一天只差三秒（3 x 10^-5）的钟。结果还是这个 John Harrison，把他后半辈子的心血都用在了研制精确钟表上，最终造出了基于发条的计时器，1761 年在船上试用，一天只差一秒（10^-5），并拿走了这个大奖。

在后来的几百年里，导航技术有了长足的进步，钟表制造虽然也发展了很多，但是在导航中的地位却越来越不重要了。历史总是会反复的，如今最先进的民用导航系统——全球定位系统（GPS），其核心技术之一就是卫星上的原子钟（主要是铯原子和铷原子做的钟）。这些原子钟的精度达到 10^-13，比前面提到的几百年前的技术提高了好多个数量级。为什么又需要这么精确的钟？GPS 的基本原理就是三边定位，如果卫星位置已知，那么接收器只要测出到三颗卫星的距离就可以列三个方程把经度、纬度、高度三个未知数解出来。可是这里的问题是测量到卫星的距离是通过卫星广播信号的时间差来测的，这就需要所有卫星和地面接收器的时间高度同步。卫星还好说，可每个接收器都带一个原子钟那就太土鳖了。所以 GPS 真正的方案是，把 GPS 卫星上的时间也当作未知数，用四颗卫星信号列四个方程把经度、纬度、高度和 GPS 时间都算出来，这样接收器的成本就低很多了。可以看到，GPS 的核心除了高度精确的卫星轨道外，还有各个 GPS 卫星之间高度同步的时间。这个时间同步需要什么样的精度呢？GPS 的设计定位误差在 10 米左右，除以光速等于 30 纳秒，也就是说卫星之间的时间同步至少需要保持在 30 纳秒之内。现代 GPS 卫星的设计标准是可以几天才和地面对一次时，这样算下来就很明白了，30 纳秒除以 3 天，卫星上的原子钟的相对误差需要在 10^-13 的量级。

10^-13 是个什么概念？一百万年才差三秒钟……如果光看这句话，恐怕十个人有十个人会嘲笑说物理学家吃饱了撑的，要这么高的精度干啥？可是这恰恰就是 GPS 十米定位误差的核心。现在最先进的原子钟，也不过就是比 10^-15 的精度稍强一些。历史证明，最近的几十年每十年原子钟的精度就提高十倍左右，而人们对计时标准的要求也是按照这个速度在发展。科学的前瞻性很深刻的体现出来了——这一代的科学就是下一代的技术。

不过，难道光一个 GPS 就可以把原子钟的研究捧上天了吗？其实，确实是的，GPS 已经深刻的改变了这个世界，远程通讯、航空摄影、交通工具跟踪控制、海陆空民用导航、捕捞搜救、地震监测、矿产勘探、资源管理、气象学、地质学、水文学、海洋学、时间控制、仪器校准……现代已经太多的科学技术依赖于 GPS 了。不知道依赖于这个米国国防部控制的系统是不是一件好事？

当然了，除了 GPS，精确的时间系统也在别的地方有很多应用，比方现代电力网的控制，通讯，医药，互联网控制，还有各类科学研究。就科学研究而言，现代科学技术能够最精确测量的物理量就是时间或者频率了，所以很多科学测量都转化成时间频率测量。另外，在可预见的将来，国际单位制系统也会全部基于时间频率测量来定义。长度单位“米”在 1983 年被定义为光在 1/299792458 秒内在真空中跑过的距离。如果没有精确的时间测量，长度测量的精度那就无从谈起了。

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