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音高和频率（续一）

November 5, 2007 9:04 pm | In Study

上次说到现在最通用的音阶是把一个八度的倍频等比分为 12 份，那么为什么要这么做呢？在开始讲这个之前，先看两条人民群众总结的规律：

• 人耳对音高的感觉主要取决于频率比，而不是频率差。比如 220 Hz 到 440 Hz 的音差，和 440 Hz 到 880 Hz 的音差，一般人认为是一样大的音差。
• 如果两个音的频率比值很接近小整数比，那么这两个音同时发出来人会感觉很和谐。比如 440 Hz 和 660 Hz 的两个音，频率比值是 2:3，一般叫做完全五度，同时发出来很和谐。

至于为什么有以上的规律，这个问题太深刻了，折磨了一代又一代的音乐家、数学家、物理学家、心理学家、生理学家、哲学家……这里不深入说了，就把它们当作公理好了。下面是某个测试人对各种频率比评价的结果，峰越高表示人觉得越和谐。可以看见，1:1 1:2 是很和谐的，接下来是 2:3 3:5 3:4 等小整数比。（这张图的出处不祥，应该是某个论文或者教科书。）

有了上述公理，怎么样来定音阶？早在公元前，伟大的毕达哥拉斯就发现了小整数频率比很和谐的规律。首先最简单的整数比是 1:2，接下来分别是 2:3 和 3:4，于是他先定出四个音（按照现在的写法）：F:C=4:3，G:C=3:2，高八度C’:C=2:1。然后他把 F 和 G 之间的间隔 9:8 叫做一个全音，按照 9:8 全音间隔填补空档他定下来这样的音阶：

• C:C = 1:1 = 1.0000
• D:C = 9:8 = 1.1250
• E:C = 81:64 = 1.2656
• F:C = 4:3 = 1.3333
• G:C = 3:2 = 1.5000
• A:C = 27:16 = 1.6875
• B:C = 243:128 = 1.8984
• C’:C = 2:1 = 2.0000

可以看到 E:F 和 B:C’ 之间的间隔是 256:243 = 1.0535，差不多是 9:8 的一半，毕达哥拉斯把这种间隔叫做半音。这样定出来的音阶其实已经蛮好用的了，现在把这种用整数比定音的方法叫做纯律（just intonation）。纯律的主要问题是有些音之间的比例很古怪，比如上面的 F:D 是 32:27，非常不和谐。另外，巴赫同学后来出了各种奇怪变调的钢琴曲，而纯律变调之后音阶就变了，于是巴赫就开始鼓吹当时已经建立起来的平均律（equal temperament）了。

平均律沿用了这种七个基本音的全音阶（diatonic scale）系统，但是让全音刚好等于两个半音，这样无论如何变调，整个音阶只要偏移一下即可，而各个音之间音程不变。我们知道，一个八度之间是 5 个全音间隔 + 2 个半音间隔，也就是 12 个半音间隔，于是就一刀切，直接把 2 等比分 12 份就是半音间隔了。下面是十二平均律（12-TET）和毕达哥拉斯的纯律的对比：

音程	纯律	十二平均律
C:C	1.0000	1.0000
D:C	1.1250	1.1225
E:C	1.2656	1.2599
F:C	1.3333	1.3348
G:C	1.5000	1.4983
A:C	1.6875	1.6818
B:C	1.8984	1.8877
C’:C	2.0000	2.0000

可以看到，十二平均律和纯律很接近，特别是 F:C 完全四度和 G:C 完全五度非常接近应有的整数比 4:3 和 3:2，只相差 2 个音分（cents）。一般没有受过音乐训练的人对 20 音分以下的音差已经不敏感；即使专业调音师，不靠仪器的话 5 个音分也基本是分辨极限了。所以在实际使用中，十二平均律对完全五度这么小的误差是完全可以忽略的。

理论上说，如果把 2 等比分为别的份数，也可以制造出可用的音阶。一个例子是等比分为 29 份，这样出来的音阶比 12-TET 更接近 3:2，但是大三度 5:4 却惨不忍睹，相差很大。一个小细节是有些音程是互补的，比如某个平均律如果很接近 G:C 3:2 完全五度，那么 C’:G 4:3 完全四度也同时被搞定。一般人们评价一个平均律，主要看它和大三度、完全五度、大六度的偏差总和（同时搞定的互补音程为小六度、完全四度、小三度），计算表明，比十二平均律更好的下一个音律是十九平均律，接下去更好的分别是 31、34 和 53。可以想象，即使是十九平均律，钢琴键盘也会复杂很多，而且由于多了很多音，不和谐的音高组合也会更多，所以非十二等分的平均律使用很有限，现在一般只局限在理论研究上。

中国古代各类弦乐器五声音阶宫商角徵羽按照五度相生律定音，演奏起来非常优美。五度相生律可以算是纯律的一种，中国人发现这个小整数比的规律应该比毕达哥拉斯早好多年。不过到了现代，特别是键盘乐器的普及以及大型乐队的配合需要，最后还是十二平均律胜出了。

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