音高和频率(续一)

November 5, 2007 9:04 pm UTC | In Study

上次说到现在最通用的音阶是把一个八度的倍频等比分为 12 份,那么为什么要这么做呢?在开始讲这个之前,先看两条人民群众总结的规律:

  • 人耳对音高的感觉主要取决于频率比,而不是频率差。比如 220 Hz 到 440 Hz 的音差,和 440 Hz 到 880 Hz 的音差,一般人认为是一样大的音差。
  • 如果两个音的频率比值很接近小整数比,那么这两个音同时发出来人会感觉很和谐。比如 440 Hz 和 660 Hz 的两个音,频率比值是 2:3,一般叫做完全五度,同时发出来很和谐。

至于为什么有以上的规律,这个问题太深刻了,折磨了一代又一代的音乐家、数学家、物理学家、心理学家、生理学家、哲学家……这里不深入说了,就把它们当作公理好了。下面是某个测试人对各种频率比评价的结果,峰越高表示人觉得越和谐。可以看见,1:1 1:2 是很和谐的,接下来是 2:3 3:5 3:4 等小整数比。(这张图的出处不祥,应该是某个论文或者教科书。)

consonance ratio

有了上述公理,怎么样来定音阶?早在公元前,伟大的毕达哥拉斯就发现了小整数频率比很和谐的规律。首先最简单的整数比是 1:2,接下来分别是 2:3 和 3:4,于是他先定出四个音(按照现在的写法):F:C=4:3,G:C=3:2,高八度C’:C=2:1。然后他把 F 和 G 之间的间隔 9:8 叫做一个全音,按照 9:8 全音间隔填补空档他定下来这样的音阶:

  • C:C = 1:1 = 1.0000
  • D:C = 9:8 = 1.1250
  • E:C = 81:64 = 1.2656
  • F:C = 4:3 = 1.3333
  • G:C = 3:2 = 1.5000
  • A:C = 27:16 = 1.6875
  • B:C = 243:128 = 1.8984
  • C’:C = 2:1 = 2.0000

可以看到 E:F 和 B:C’ 之间的间隔是 256:243 = 1.0535,差不多是 9:8 的一半,毕达哥拉斯把这种间隔叫做半音。这样定出来的音阶其实已经蛮好用的了,现在把这种用整数比定音的方法叫做纯律(just intonation)。纯律的主要问题是有些音之间的比例很古怪,比如上面的 F:D 是 32:27,非常不和谐。另外,巴赫同学后来出了各种奇怪变调的钢琴曲,而纯律变调之后音阶就变了,于是巴赫就开始鼓吹当时已经建立起来的平均律(equal temperament)了。

平均律沿用了这种七个基本音的全音阶(diatonic scale)系统,但是让全音刚好等于两个半音,这样无论如何变调,整个音阶只要偏移一下即可,而各个音之间音程不变。我们知道,一个八度之间是 5 个全音间隔 + 2 个半音间隔,也就是 12 个半音间隔,于是就一刀切,直接把 2 等比分 12 份就是半音间隔了。下面是十二平均律(12-TET)和毕达哥拉斯的纯律的对比:

音程 纯律 十二平均律
C:C 1.0000 1.0000
D:C 1.1250 1.1225
E:C 1.2656 1.2599
F:C 1.3333 1.3348
G:C 1.5000 1.4983
A:C 1.6875 1.6818
B:C 1.8984 1.8877
C’:C 2.0000 2.0000

可以看到,十二平均律和纯律很接近,特别是 F:C 完全四度和 G:C 完全五度非常接近应有的整数比 4:3 和 3:2,只相差 2 个音分(cents)。一般没有受过音乐训练的人对 20 音分以下的音差已经不敏感;即使专业调音师,不靠仪器的话 5 个音分也基本是分辨极限了。所以在实际使用中,十二平均律对完全五度这么小的误差是完全可以忽略的。

理论上说,如果把 2 等比分为别的份数,也可以制造出可用的音阶。一个例子是等比分为 29 份,这样出来的音阶比 12-TET 更接近 3:2,但是大三度 5:4 却惨不忍睹,相差很大。一个小细节是有些音程是互补的,比如某个平均律如果很接近 G:C 3:2 完全五度,那么 C’:G 4:3 完全四度也同时被搞定。一般人们评价一个平均律,主要看它和大三度、完全五度、大六度的偏差总和(同时搞定的互补音程为小六度、完全四度、小三度),计算表明,比十二平均律更好的下一个音律是十九平均律,接下去更好的分别是 31、34 和 53。可以想象,即使是十九平均律,钢琴键盘也会复杂很多,而且由于多了很多音,不和谐的音高组合也会更多,所以非十二等分的平均律使用很有限,现在一般只局限在理论研究上。

中国古代各类弦乐器五声音阶宫商角徵羽按照五度相生律定音,演奏起来非常优美。五度相生律可以算是纯律的一种,中国人发现这个小整数比的规律应该比毕达哥拉斯早好多年。不过到了现代,特别是键盘乐器的普及以及大型乐队的配合需要,最后还是十二平均律胜出了。

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11 Comments »

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  1. 终于有下文了,讲的很好啊, 赞!
    好奇的问,这是你什么课程的笔记呢

    Comment by offall — November 5, 2007 9:40 pm UTC #

  2. 谢谢鼓励~~机器里一堆论文+演讲+报告,没事整理一点出来。。。

    Comment by atppp — November 6, 2007 10:16 pm UTC #

  3. zan acore nb
    科普重任义不容辞

    Comment by kisstar — November 7, 2007 11:09 pm UTC #

  4. 专业!等着看下文

    Comment by ppip — November 10, 2007 1:53 am UTC #

  5. 比之前看过的乐理书讲的都要深入浅出,佩服

    Comment by alex — December 7, 2007 3:51 am UTC #

  6. 很不错,期待下篇。加油~!

    Comment by thinkgeeker — December 21, 2007 5:19 am UTC #

  7. 其实也是有一些问题的,比如说生物学术界本身的问题,即使使用纯音,那些 2f 3f 的纤毛也会产生共振吧。
    音的干涉可能会导致纤毛几乎不振动吧。

    Comment by nasofe — April 30, 2009 11:06 am UTC #

  8. 很感谢你写了这个博文。。。关于12平均律,纯律,我查了很多音乐书都没有一个说的清楚明白的。最后google到这儿来了。还是有科学背景的人解释事情比较有逻辑,音乐书上又是巴赫,又是文艺复兴,说了一堆也没给个对照表,各种律制推导过程都差多少HZ。

    我刚加入乐队里弹吉他,钢琴的人总是抱怨我的琴不准,我好不容易照着钢琴调了,发现电子琴进来又不准了。。。弹和弦总是觉得不对,跟其它的乐器听着不和谐。那另外几个乐手都够挑剔的,我差不多十几个音分也要抱怨。

    最后我自己在家折腾了无数次,发现是调音的方法,我很严格按照电子调音器12平均律调好了,自己听着都觉得有些不和谐(当然琴不好,我的手不准的因素也在里面)。

    看了你的博客我明白了,电子琴一般都是12平均律,钢琴很可能调整在纯律。吉他本来是12平均律的乐器,一根弦上对应的每个音高必须平均,按照钢琴的一调就乱了。试想,6跟弦,同一根弦上从A到F有2个8度。如果按照纯律去调,6跟弦的任意排列组合很可能变成走音。

    如果按照纯律去调,弹有些和弦听着是比12平均律好听,但是别的和弦就没法保证。吉他演奏又会经常用到变调,权宜之计只有用不太好听的12平均律。

    试着找答案,最后发现没有什么好的答案。回到原点,用电子调音器调准了,不要理那个弹钢琴的。要么我改行不弹吉它,去弹电子琴。至少没人会抱怨我的音准了。

    P.S.顺便看了你的博客里面的其它文章,让80年的我觉得自己啥都不会。。。我大学是computer science,毕业5年了一行代码也没写过,开始怀疑自己究竟会什么。

    Comment by Billy — July 22, 2009 8:44 pm UTC #

  9. 引博主:“毕达哥拉斯的纯律的对比:”

    博主讲述的是毕律,毕律和纯律不是同一种规则。纯律中C-E-G、F-A-C、G-B-D的比值要求都是4:5:6。

    Comment by shitall — August 23, 2009 6:10 am UTC #

  10. 五度相生(三分损益),纯律,十二平均律,是比较常用的三种律制。

    Comment by larry — November 19, 2012 6:50 pm UTC #

  11. 把五度相生算是纯律的一种,这是不对的。

    Comment by larry — November 19, 2012 6:51 pm UTC #

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