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音高和频率（续二）

为什么小整数频率比的两个音比较和谐？这个问题，要从乐音的谐波说起。

一般乐器发出的音都不是纯频率的音，而是由好多谐波（harmonic）组成的；其中频率最低的那个通常最强，叫做基音。比如小提琴发出音高 A4 的音，指的就是其基音是 440 Hz，而声波频谱里面同时有二次谐波 880 Hz、三次谐波 1320 Hz、四次谐波……等等。不同乐器发出的声音，其谐波强度分布往往完全不同，因此音色（timbre）也就不同（比如高谐波强的话听起来就亮一些）。乐音含有谐波这个特性和小整数比的和音规则有什么关系？以完全五度举例，A4 和 E5 的两个乐音，频率比为 2:3，而 A4 的三次谐波和 E5 的二次谐波刚好重合，都是 1320 Hz。相隔完全五度的两个乐音同时听起来比较好听，是不是因为它们大部分的谐波都重合了？

于是就有科学家做实验了。人们发现，把纯频率的音（不含谐波）A4 和 E5 同时发出来听并不怎么好听。还有人用电脑制作了扭曲的乐音，把 N 次谐波搞成 N^{log(2.1)/log(2)} 倍（谐波从 2 倍拉宽到 2.1 倍，自然界是没有这种声音的），然后发现谐波重合的扭曲乐音同时听起来还比较和谐，而它们的基音却不是小整数比了。还有一些别的实验，但是结论都是差不多的，就是两个乐音和谐主要是因为他们的谐波重合，转换为数学语言，就是基音必须是小整数比。

为啥谐波重合就好听呢？这是因为，如果谐波不重合但是距离很近，它们就会干涉形成低频率的拍（beat），这种低频拍音嗡嗡作响，非常难听。两个频率距离多近才会形成不好听的拍？人们一般把这个临界距离叫做临界频宽（critical bandwidth），处于临界频宽之内的两个频率就会互相干涉。这个临界频宽本身是频率的函数，频率越高，临界频宽带也就越宽，如下图所示：

可以看到，临界频宽在低频区是 100 Hz 左右；高频区大约是本身频率的 1/6。比如，900 Hz 的临界频宽是 150 Hz，这就是说，750 – 1050 Hz 频率范围内的音都会和 900 Hz 的音干涉。用音乐术语，1/6 频宽介于大二度和小三度之间（上图所示 2&3 semitones 之间），所以在高频区域里，间隔一个或者两个半音的音就会相互干涉形成不愉悦的拍。

乐音的高谐波排列非常紧密，比如 A4 的 10 次谐波和 11 次谐波分别是 4.4 kHz 4.84 kHz，间隔不到两个半音，所以高谐波之间就会相互干涉。如果对小提琴乐音做频谱分析，会发现它有很多谐波强度很弱，造成的结果是各个强谐波之间间隔都比较大，不在互相的临界频宽内，所以小提琴乐音本身极少有难听的拍，这也正是小提琴乐音很好听的原因之一。有些乐器音高很准，但是发出声音很难听，可能就是因为它自己有很多谐波互相打架，形成很多低频拍，听起来很难受。

那么为什么低频的拍听起来难听呢？有人认为这和人耳的解剖学结构有关。匈牙利生物物理学家 Georg von Békésy 发现人的耳蜗里有很多小毛毛，功能是把外界声波在内耳液体中产生的振动转换为神经电信号，而且耳蜗的特殊生理结构导致每根小毛毛只对一小段频率的振动敏感。也就是说，耳蜗就是一个频谱分析仪；而小毛毛的敏感频率段，差不多就是相应频率的临界频宽。好的乐音因为没有互相打架的拍频，小毛毛们都会做优美的简谐运动，人就会觉得很愉快；相反，如果临界频宽内有两个频率的声音，有一些小毛毛就会受到两种频率的影响，运动起来比较别扭，所以人也觉得不怎么愉快。Békésy 这个发现是得了诺贝尔医学奖的，不过后来进一步的研究发现虽然他的理论基本成立，但是数据并不正确，主要是因为 Békésy 是拿死人耳朵做实验的，因为尸体失水，耳朵的频率响应也非常不同。不过炸药奖发了就发了，也收不回了，Békésy 本人在晚年也否定了自己早期的一些研究。

如果还有人偏要问到底，为什么耳蜗里小毛毛运动别扭，人就觉得难受呢？有些问题呢，它就是没什么道理的。好不好听这本身就是个主观的问题，如果你偏要问为什么，那估计就只好把你的脑袋砸开来研究了……现代脑科学的研究已经越来越科学，越来越定量化，但是像乐音和谐度这类宏观问题上，基本上也只有一些假说，信仰假说的人多了，也就成了学派。有些哲学家对脑科学前景非常悲观，认为人自己的主观意志去研究自己的主观意志，是很难有结果的。这个说法倒是过于杞人忧天了，目前人类对脑子的了解还远远不够，可以研究的东西还多得很，不过也许在遥远的未来，人就真的要面对无法继续研究自己的问题了。

说了这么多，可千万不要以为知道了一个小整数比就可以谱曲了。翻开和声学，你会发现正统的和声规则要复杂得多，甚至用什么乐器来演奏，调起多高，是小型音乐厅还是露天演奏，等等都是需要考虑的因素。几百年前就有很多音乐家搞出各类奇奇怪怪的规则，而现代人类更是从胎教开始就逐渐接受正统的规则，作曲人即使没有受过专业训练也会在潜移默化中将这些规律继续发扬光大。事实上音乐制作已经在人类社会中形成了巨大的正反馈，某些和声规则逐渐被强化。原始部落的人们听到贝多芬的曲子，并不会神魂颠倒。所以说，可能也只有最朴素的小整数比和声规律还有一定的生理基础，现在复杂的和声学则基本上算是美学，没有道理可言。我曾经看到有人对着乐谱做傅立叶分析，研究为什么某些和声听起来好听。挺美好的音乐，偏偏硬要去扣个科学的帽子，我想说，你从小就是听这些和声规则长大的，能不觉得好听么……这个就跟我受了十多年政治教育就再也不会怀疑马克思列宁主义了是一个道理。

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